Kuramoto振子模型的拉格朗日与辛结构

佚名论文 · 已翻译 · 约 73 分钟

摘要

尽管历经50年深入研究，Kuramoto振子模型仍是非平衡相变领域的一个典型代表。其持久重要性的原因之一，在于它表面上缺乏优化公式——运动方程似乎与拉格朗日结构不相容。我们证明，作为 S^{2} 上的平均场经典（扭曲）自旋模型，Kuramoto模型可以用变分法描述。基于这一结果，围绕（不稳定的）Kuramoto平衡态的微扰分析，等价于平均场海森堡自旋模型的低能涨落。有趣的是，围绕这些平衡态构型的离面微扰，竟然由半经典Gaudin模型描述，这表明振子同步映射到了Richardson及其后继者研究的自旋配对机制。

pacs: 05.30, 05.40, 05.45

††: J. Phys. A: Math. Gen.

1 引言

自50年前问世以来，Kuramoto振子模型一直被视为展示非平衡相变（此处为同步相变）的动力系统基本范例。在回顾该系统的主要特征之后，我们指出，在原始角度变量下，Langevin型Kuramoto方程与拉格朗日结构不相容——这正是多年来该问题未能获得变分公式化的主要原因。

我们接着探讨一种复杂的双线性结构，它能够还原该模型大多数已知的精确结果。尽管这仍非拉格朗日形式，但这一探索将问题表述为 \mathbb{R}^{3} 中自旋系统的平均场极限，其二维限制可简化为Kuramoto模型。因此，我们推导出相应的拉格朗日量与哈密顿量，从而得以探索Kuramoto平衡态周围的平面内与平面外微扰。平面内微扰证实了同步态的已知稳定性分析，这是广义模型精确哈密顿量的直接推论。平面外微扰则被证明可由半经典Gaudin模型描述，其能谱由Kuramoto振子的中心频率分布给出。这一结果建立了Kuramoto振子同步与半经典Gaudin模型中（安德森）赝自旋配对之间的自然联系。

2 Kuramoto模型简述

2.1 通过平均场吸引力相互作用的振子——锁相与同步现象的初步分析

设 \theta_{j}(t),\,j=1,2,\ldots,N 表示 N 个振子的角变量，其（任意）固有频率为 \omega_{j}\in\mathbb{R}_{+}。记 \lambda\geq 0 为振子间平均场吸引相互作用的耦合常数，则Kuramoto方程取朗之万形式：

\dot{\theta_{j}}=\omega_{j}+\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{j}):=F_{j}(\{\theta_{k}\}_{k=1}^{N}),\,\,j=1,2,\ldots,N,\tag{1}

其中 \dot{f} 表示函数 f(t) 对时间的导数。

两个由指标 \{j,\ell\} 标识的振子被称为锁相，如果它们的角度差为常数：

\dot{\theta_{j}}-\dot{\theta_{\ell}}=0\Leftrightarrow\omega_{j}+\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{j})=\omega_{\ell}+\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{\ell})\tag{2}

若振荡器 j 与 \ell 处于锁相状态，则其相位差 \Delta_{j\ell}:=\theta_{j}-\theta_{\ell}=-\Delta_{\ell j} 将保持恒定。该差值可视为两个角度在共旋参考系中的相位差——该参考系以共同角速度 \dot{\theta_{j}}=\dot{\theta_{\ell}} 旋转。通过反证法可轻易证明：对于自然频率不同的锁相振荡器（\omega_{j}\neq\omega_{\ell}），两者的相位不可能重合：

\dot{\theta_{j}}=\dot{\theta_{\ell}},\,\,\omega_{j}\neq\omega_{\ell}\Rightarrow\Delta_{j\ell}\neq 0.\tag{3}

注意到，对式 (2) 进行简单估计，可得出当 N\geq 3 时，两个振荡器 j,\ell 锁相的必要条件：

\omega_{j}-\omega_{\ell}=\lambda\left[\frac{\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{\ell})-\sin(\theta_{k}-\theta_{j})}{N}\right]\Rightarrow\lambda\geq\frac{N|\omega_{j}-\omega_{\ell}|}{2(N-1)}\tag{4}

由此我们得出结论：对于 N\geq 3 且所有频率互异的振荡器系统，当耦合常数低于临界值 \lambda_{c} 时：

\lambda<\lambda_{c}:=\frac{N}{2(N-1)}\min_{1\leq j\neq\ell\leq N}|\omega_{j}-\omega_{\ell}|,

系统将始终处于未锁相状态；而当耦合常数超过同步值 \lambda_{s} 时：

\lambda\geq\lambda_{s}:=\frac{N}{2(N-1)}\max_{1\leq j\neq\ell\leq N}|\omega_{j}-\omega_{\ell}|,

相位锁定与混合相行为

系统可能在相对相位的特殊配置下完全进入相位锁定状态，即 \{\Delta_{j\ell}\}_{j,\ell=1}^{N}。特别地，当库拉莫托系统中的振子具有相同的公共频率 \omega_{j}=\Omega,\,\forall\,j=1,2,\ldots,N（此时 \lambda_{c}=0=\lambda_{s}）时，系统总能在任意小的耦合常数 \lambda>0 下实现完全相位锁定。

在 N=2 的特殊情况下，我们得到简化形式：

\lambda_{c}=\lambda_{s}=|\omega_{1}-\omega_{2}|,

其相位锁定条件为：

\sin\Delta_{12}=\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{\lambda}.

对于一般情况 N\geq 3,\,0<\lambda_{c}<\lambda<\lambda_{s}，系统将表现出两种相的混合状态，其中相位锁定振子的相对比例取决于频率的精确分布，以及 \lambda,\lambda_{c},\lambda_{s} 的取值。

非平衡相变的普遍特征

这些特征——即系统在动态、时间依赖状态下表现出混合相，并且可能通过相对相位 \Delta_{j\ell} 依赖于初始条件——此后被推广为非平衡相变的普遍特性。需要强调的是，这类现象与更为成熟的平衡相变理论存在根本区别。在平衡相变中，存在一个定义良好的全局凸泛函（热力学势），其光滑程度允许对系统的临界性质进行分类和完整描述（例如一阶相变、二阶相变等），但这类现象从根本上缺乏变分表述，我们将在下一节中证明这一点。

2.2 分析库拉莫托模型在二维空间中的变分表述

2.2.1 原始库拉莫托方程的非拉格朗日性质

首先，我们注意到，表面上看，方程 (1) 无法实现为拉格朗日密度 {L}(\theta_{j},\dot{\theta}_{j}) 的欧拉-拉格朗日方程：对方程 (1) 求一次导数，可得

\ddot{\theta_{j}}=\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\cos(\Delta_{kj})\left[\omega_{k}-\omega_{j}+\frac{\lambda}{N}\sum_{\ell=1}^{N}\sin(\Delta_{\ell k})-\sin(\Delta_{\ell j})\right]\tag{5}

假设方程 (5) 是 {L}(\theta_{j},\dot{\theta}_{j}) 的欧拉-拉格朗日方程，那么可以推出

{L}(\theta_{j},\dot{\theta}_{j})=\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\dot{\theta}^{2}_{j}+\Phi(\{\theta_{k}\}_{k=1}^{N}),\tag{6}

因为拉格朗日量不能包含 \dot{\theta_{j}^{2}} 形式的项（否则会在方程 (5) 中产生一阶导数），这类项只会对作用量产生边界贡献，因此在欧拉-拉格朗日一次变分下没有影响。因此，我们寻找一个函数 \Phi(\{\theta_{k}\}_{k=1}^{N})，使得

\frac{\partial\Phi}{\partial\theta_{j}}=\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\cos(\Delta_{kj})\left[\omega_{k}-\omega_{j}+\frac{\lambda}{N}\sum_{\ell=1}^{N}\sin(\Delta_{\ell k})-\sin(\Delta_{\ell j})\right]\tag{7}

我们通过验证，对于一般的 j\neq q，有

\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\theta_{j}\partial\theta_{q}}\neq\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\theta_{q}\partial\theta_{j}},\tag{8}

来证明这是不一致的。由方程 (7)，可得

\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\theta_{q}\partial\theta_{j}}=\frac{\lambda}{N}(\omega_{j}-\omega_{q})\sin(\Delta_{qj})+\left(\frac{\lambda}{N}\right)^{2}\sum_{k,\ell=1}^{N}\sin(\Delta_{jk})\left[\sin(\Delta_{lk})-\sin(\Delta_{\ell j})\right][\delta_{kq}-\delta_{jq}]

+\left(\frac{\lambda}{N}\right)^{2}\left\{\sum_{k,\ell=1}^{N}\cos(\Delta_{kj})\left[\cos(\Delta_{\ell k})(\delta_{\ell q}-\delta_{kq})-\cos(\Delta_{\ell j})(\delta_{\ell q}-\delta_{jq})\right]\right\}

因此，对于 j\neq q，其差值为

\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\theta_{j}\partial\theta_{q}}-\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\theta_{q}\partial\theta_{j}}=\left(\frac{\lambda}{N}\right)^{2}\cos(\Delta_{qj})\sum_{k=1}^{N}\left[\cos(\Delta_{kj})-\cos(\Delta_{kq})\right],

除非 \{\theta_{j}\},j\in\Sigma_{N} 取极特殊的值，否则该式不可能为零。由此我们得出结论：在原始角变量下，闭式条件（式 8）并不成立，而库拉莫托方程（式 5）也不具有欧拉–拉格朗日形式。

2.2.2 库拉莫托振子的第一个泊松括号结构

引入记号 z_{j}(t):=e^{i\theta_{j}(t)},\,\,j\in\Sigma_{N}:=\{1,2,\ldots,N\}，可将库拉莫托方程改写为如下形式：

\dot{z}_{j}=z_{j}\left[i\omega_{j}+\frac{\lambda}{2N}\sum_{k=1}^{N}(z_{k}\bar{z}_{j}-\bar{z}_{k}z_{j})\right]\tag{9}

在 \mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{R} 上定义以下反对称和对称的双线性形式：

[u,v]:=\frac{1}{2i}(u\bar{v}-v\bar{u}),\quad\{u,v\}:=\frac{1}{2}(u\bar{v}+v\bar{u}),\tag{10}

以及复序参量：

r(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}z_{k}(t),

由此得到库拉莫托方程的复数形式：

\dot{z}_{j}=iz_{j}(\omega_{j}+\lambda[r,z_{j}])\tag{11}

我们将复序参量的模和辐角记为：

r(t)=|r|(t)e^{i\theta_{0}(t)}\Rightarrow 0\leq|r|(t)\leq 1,

振子与序参量变量的锁相定义与之前相同。

定理 1

设 \alpha\in\mathbb{R} 且 u,v\in\mathbb{C}^{*}。以下列出式 10 中定义的双线性形式的性质：

[u,v]=-[v,u],\quad[u,[v,w]]+[w,[u,v]]+[v,[w,u]]=0,\tag{12}

\{u,v\}=\{v,u\},\quad[\alpha u,v]=\alpha[u,v],\quad[i\alpha u,v]=i\alpha\{u,v\},\tag{13}

[u,v]=0\Leftrightarrow\arg\frac{u}{v}\in\{0,\pi\},\quad\{u,v\}=0\Leftrightarrow\arg\frac{u}{v}\in\left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\}.\tag{14}

定理 2

证明基于初等计算。这一形式体系能够以一种便捷的方式，得出两个或多个振荡器锁相的条件：

定理 2

假设振荡器 \{j,k\}\subseteq\Sigma_{N} 处于锁相状态，则

\left[z_{j}-z_{k},r\right]=\frac{\omega_{j}-\omega_{k}}{\lambda}

此外，如果这两个锁相振荡器具有相同的固有频率，即 \omega_{j}=\omega_{k}，则意味着 \frac{z_{j}-z_{k}}{r}\in\mathbb{R}，因此 z_{j}、z_{k} 和 r 全部锁相。

证明：由方程 11 可得

\frac{\dot{z}_{j}}{z_{j}}=\frac{\dot{z}_{k}}{z_{k}}\Rightarrow\left[\frac{z_{j}-z_{k}}{\omega_{j}-\omega_{k}},r\right]=\frac{1}{\lambda}

利用反对称形式的齐次性质，我们得到上述结果。如果固有频率也相等，则上式变为

\left[{z_{j}-z_{k}},r\right]=0\Rightarrow\frac{z_{j}-z_{k}}{r}\in\mathbb{R},\tag{15}

并且根据方程 14，z_{j}、z_{k} 和 r 的相位均被锁定。若用 \varphi_{j} 表示 z_{j} 相对于 r 的相对相位差，则 \varphi_{k} 只能取 \varphi_{j} 或 \pi-\varphi_{j} 这两个值。

显然，这可以推广到所有振荡器：所有共享相同固有频率的锁相振荡器，要么汇聚于同一点 \frac{zr}{|r|}\in S^{1}，要么汇聚于两点 \frac{zr}{|r|},-\frac{\bar{z}r}{|r|}\in S^{1}，这两点相对于变量 r 的方向是固定的。\square

注意，如果三个具有不同频率 \omega_{j},\omega_{k},\omega_{\ell} 的振荡器锁相，方程 15 意味着

\left[\frac{z_{j}-z_{k}}{\omega_{j}-\omega_{k}}-\frac{z_{k}-z_{\ell}}{\omega_{k}-\omega_{\ell}},r\right]=0\Rightarrow\frac{(\omega_{k}-\omega_{\ell})z_{j}+(\omega_{\ell}-\omega_{j})z_{k}+(\omega_{j}-\omega_{k})z_{\ell}}{r}\in\mathbb{R}.

等价地，使用角度差 \varphi_{j}=\arg(z_{j})-\arg(r)，可得

(\omega_{k}-\omega_{\ell})\sin\varphi_{j}+(\omega_{\ell}-\omega_{j})\sin\varphi_{k}+(\omega_{j}-\omega_{k})\sin\varphi_{\ell}=0,\tag{16}

该方程允许以下形式的解族：

\sin\varphi_{j}=\alpha(\omega_{j}-\beta),\tag{17}

其中 \alpha,\beta 为实常数，用于适当的归一化。

2.2.3 同频振子的特例

上述结果可推广至寻找同频振子系统实现锁相的必要条件：

定理 3

假设所有振子 j\in\Sigma_{N} 具有相同频率 \omega_{j}=\Omega 且处于锁相状态。则 \dot{|r|}=0、r(t)=|r|e^{i\Omega t}，且对于所有 j\in\Sigma_{N}，有 z_{j}(t)\in\{e^{i\Omega t},\,-e^{i\Omega t}\}（整体固定任意相位可忽略）。

证明：显然，平凡特例 r=0 不予考虑。由定理 2 可知，所有振子的位置仅可能位于两个点：\frac{zr}{|r|},-\frac{\bar{z}r}{|r|}\in S^{1}。然而，根据凸性，r 的相位应介于这两点之间，除非 z=1，否则会产生矛盾。因此 z_{j}\in\left\{\frac{r}{|r|},-\frac{r}{|r|}\right\}，且 |r| 的值由下式给出：

|r|=\frac{1}{N}\left|\#\left\{z_{j}=\frac{r}{|r|}\right\}-\#\left\{z_{k}=-\frac{r}{|r|}\right\}\right|,

使得 \dot{|r|}=0、[r,z_{j}]=0，而 Kuramoto 方程变为：

\dot{r}=ir\Omega,

证毕。\square

该结果使我们能够引入 Kuramoto 系统的最后一组重要定义，作为定理 3 的充分条件对应：

定义 1

Kuramoto 振子系统称为非同步的，若 |r|=0；称为（部分）同步的，若 |r|\in(0,1) 为常数；称为完全同步的，若 |r|=1。

定理 4

假设一个由相同固有频率 \omega_{j}=\Omega,\,\forall j\in\Sigma_{N} 和正耦合常数构成的仓本振子系统是同步的。那么，如定理 3 所述，该系统是锁相的。

证明。由式 11，代入 \omega_{j}=\Omega,\,\forall j\in\Sigma_{N}，将所有方程相加可得

\dot{r}=i\Omega r+\frac{i\lambda}{N}\sum_{j=1}^{N}z_{j}[r,z_{j}]

另一方面，|r|= 常数意味着

\dot{r}=i\dot{\theta_{0}}r

因此，由于 |r|>0，将这两个方程相减可得

\dot{\theta}_{0}-\Omega=\frac{\lambda}{N}\sum_{j=1}^{N}\frac{z_{j}}{r}[r,z_{j}]\Rightarrow\Omega-\dot{\theta}_{0}=\frac{\lambda}{N}\sum_{j=1}^{N}e^{i\varphi_{j}}[e^{i(\theta_{0}+\varphi_{j})},e^{i\theta_{0}}]=\frac{\lambda}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin(\varphi_{j})e^{i\varphi_{j}}

取虚部，在 \lambda>0 时，我们得到

0=\sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})\Rightarrow\varphi_{j}\in\{0,\pi\},\,\forall j\in\Sigma_{N}

因此，所有振子都锁相，定理 3 适用。此外，由实部可得

\Omega-\dot{\theta}_{0}=\frac{\lambda}{2N}\sum_{j=1}^{N}\sin(2\varphi_{j})=0\Rightarrow\dot{\theta}_{0}=\Omega.

\square

3 广义仓本模型：\mathbb{R}^{3} 中的平均场自旋系统

在本文的剩余章节中，我们将使用符号 \vec{S}_{j}\in\mathbb{R}^{3},\,\,j=1,2,\ldots,N 来表示 \mathbb{R}^{3} 中的向量，以此推广经典仓本模型。我们将这些变量称为（经典）自旋。平均场（即它们的向量平均值，限制在其凸包内）记为

\vec{J}:=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\vec{S}_{k}\in\mathbb{R}^{3}

定理 5

自旋系统 \{\vec{S}_{j}\},\,j\in\Sigma_{N} 的运动方程为

\dot{\vec{S}}_{j}=\omega_{j}\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}+\lambda\vec{S}_{j}\times(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\tag{18}

约化为 Kuramoto 方程

当自旋归一化 |\vec{S}_{j}|=1，且共面于垂直于 \widehat{e}_{3} 的平面时，即 \vec{S}_{j}(t)=\langle\cos\theta_{j}(t),\sin\theta_{j}(t),0\rangle,\,\forall\,j\in\Sigma_{N}，方程可约化为 Kuramoto 方程（式 11）。

证明：首先注意，式 18 蕴含 \vec{S}_{j}\cdot\dot{\vec{S}}_{j}=0，因此该动力学过程保持范数 |\vec{S}_{j}| 不变。若向量还满足单位化、共面的初始条件 \vec{S}_{j}(t=0)=\langle z_{j},0\rangle=\langle\cos\theta_{j},\sin\theta_{j},0\rangle,\,\,j\in\Sigma_{N}，则 \vec{J}\times\vec{S}_{j}\parallel\widehat{e}_{3}，故 \dot{\vec{S}_{j}}\perp\widehat{e}_{3}，\widehat{e}_{3}\cdot\dot{\vec{S}}_{j}=0，且向量在 t>0 时保持共面与单位化。在此情形下，识别

\dot{\vec{S}}_{j}=\dot{\theta}_{j}\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j},\quad\vec{J}\times\vec{S}_{j}=-\left[\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{j})\right]\widehat{e}_{3},

式 18 变为

\dot{\theta}_{j}\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}=\left\{\omega_{j}+\frac{\lambda}{N}\sum_{k=1}^{N}\sin(\theta_{k}-\theta_{j})\right\}\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j},

等价于式 1 和式 11。\square

3.1 \mathbb{R}^{3} 中广义 Kuramoto 模型的全局性质

3.1.1 全局同步条件与渐近状态

定义 \vec{P}_{j}:=\vec{S}_{j}\times\widehat{e}_{3}，使得 \vec{S}_{j} 与 \vec{P}_{j} 在垂直于 \widehat{e}_{3} 时互为对偶。假设所有自旋共面，将式 18 乘以 \vec{J} 并对 j 求和，可得

\frac{1}{2}\frac{d\,\,}{dt}|\vec{J}|^{2}=-\sum_{j=1}^{N}\omega_{j}(\vec{P}_{j}\cdot\vec{J})+\lambda\sum_{j=1}^{N}(\vec{P}_{j}\cdot\vec{J})^{2}

因此，当序参量 |\vec{J}| 的模长达到恒定值时，系统进入稳定状态。

\sum_{j=1}^{N}\omega_{j}(\vec{P}_{j}\cdot\vec{J})=\lambda\sum_{j=1}^{N}(\vec{P}_{j}\cdot\vec{J})^{2},

或利用 \vec{S}_{j} 与 \vec{J} 之间的相位差 \varphi_{j}，以及 \sum_{j=1}^{N}\sin(\varphi_{j})=0，可得

\lambda|\vec{J}|=\frac{\sum_{j=1}^{N}\omega_{j}\sin(\varphi_{j})}{\sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})}=\frac{\sum_{j=1}^{N}(\omega_{j}-\Omega)\sin(\varphi_{j})}{\sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})}\tag{19}

显然，对于自然频率 \{\omega_{j}\}_{j=1}^{N} 的一般分布，完全同步对应于 |\vec{J}|\to 1^{-}，\varphi_{j}\to 0,\,\forall j\in\Sigma_{N}，此时 \lambda|\vec{J}|\to\infty，因此它只能在 \lambda\to\infty 极限下发生。

将运动方程写成如下形式

\dot{\theta}_{j}=\omega_{j}-\lambda\widehat{e}_{3}\cdot(\vec{J}\times\vec{S}_{j}),

则自旋 j 与 k 的锁相条件变为

\omega_{j}-\omega_{k}=\lambda|\vec{J}|(\sin\varphi_{j}-\sin\varphi_{k})\Rightarrow\frac{\sin\varphi_{j}-\sin\varphi_{k}}{\omega_{j}-\omega_{k}}=\frac{1}{\lambda|\vec{J}|}

当耦合常数足够大，使得 |\omega_{j}-\Omega|\leq\lambda|\vec{J}|,\,\forall j\in\Sigma_{N}（其中 \Omega=\frac{1}{N}\sum_{k}\omega_{k}）时，关于变量 \sin\varphi_{k} 的线性方程组的一个解为

\sin\varphi_{j}=\frac{\omega_{j}-\Omega}{\lambda|\vec{J}|},\quad{\rm{sign}}(\cos\varphi_{j}):=\epsilon_{j}\in\{-1,1\},\tag{20}

这与之前找到的一般同步条件（式 19）以及三自旋特解（式 17，其中 \alpha^{-1}=\lambda|\vec{J}|,\,\beta=\Omega）一致。由于

|\vec{J}|=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\cos\varphi_{j}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\epsilon_{j}\sqrt{1-\frac{(\omega_{j}-\Omega)^{2}}{\lambda^{2}|\vec{J}|^{2}}},\quad{\rm{where}}\quad\epsilon_{j}=\pm 1,\tag{21}

完全同步状态下的精确公式

在完全同步区域 \lambda\geq\lambda_{s} 中，我们得到了 |\vec{J}|(\lambda) 依赖关系的精确公式，但无需渐近假设 \lambda\to\infty,\,|\vec{J}|\to 1。

不失一般性，设 N_{+}\geq N_{-} 分别表示 \epsilon_{j}=1 和 -1 的振子数量，满足 N_{+}+N_{-}=N。假设 \lambda 足够大，使得 N|\omega_{j}-\Omega|\ll\lambda(N_{+}-N_{-}),\,\forall j\in\Sigma_{N}，我们可以展开解，得到渐近平衡近似：

|\vec{J}|\approx\frac{N_{+}-N_{-}}{N}-\frac{N^{2}}{2\lambda^{2}(N_{+}-N_{-})^{2}}\left[\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\epsilon_{j}(\omega_{j}-\Omega)^{2}\right]\approx|\vec{J}|_{0}-\frac{\mathbb{E}[\epsilon_{j}(\omega_{j}-\Omega)^{2}]}{2\lambda^{2}|\vec{J}|^{2}_{0}},

其中

|\vec{J}|_{0}=\frac{N_{+}-N_{-}}{N}

是固定 N_{+},N_{-} 时 \lambda\to\infty 极限下的解。因此，在大耦合常数极限下，存在一族解，其中单个自旋聚集在两个相反相位附近，角展度与偏离平均频率的频率偏差成正比。

等频率情形

与定理 3 一致，在等频率 \omega_{j}=\Omega 的情况下，平衡条件变为：

\lambda|\vec{J}|\sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})=0,

该条件可通过以下方式满足：\lambda=0（平凡解）、\vec{J}=\vec{0}（未同步）或 \sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})=0（已同步），对应某个固定值 |\vec{J}|_{0}=\frac{N_{+}-N_{-}}{N}。

全局稳定同步的动力学

朝向全局稳定同步的集体自旋动力学由下式给出：

\frac{d\,\,}{dt}|\vec{J}|=\lambda\sum_{j=1}^{N}\sin^{2}(\varphi_{j})\geq 0,

因此序参量将单调增加至其平衡值，当 \varphi_{j}\in\{0,\pi\},\,\forall j\in\Sigma_{N} 时达到该值。

3.1.2 静态背景上的自旋翻转动力学

孤子解与自旋翻转动力学

前一节得到的通解并非全局稳定，因为对 \epsilon_{j}=-1 的振子施加扰动，会导致自旋翻转变化 N_{+}\to N_{+}+1,\,N_{-}\to N_{-}-1。在极限 N\to\infty 下，该动力学具有扭结型解，因为将背景总自旋设为稳态演化

\frac{d\vec{J}}{dt}=\Omega\,\widehat{e}_{3}\times\vec{J},\quad|\vec{J}|=\frac{N_{+}-N_{-}}{N},

并用 \omega,\,\varphi 表示 \epsilon_{j}=-1 振子的固有频率、角度差与向量 \vec{J} 之间的差值，则孤立自旋动力学满足

\dot{\varphi}=\omega-\Omega-\lambda|\vec{J}|\sin\varphi,

该方程描述了从不稳定解 \varphi_{*} 向稳定解 \varphi_{0} 的演化过程：

\sin\varphi_{*}=\frac{\omega-\Omega}{\lambda|\vec{J}|},\,\,\cos\varphi_{*}<0\longrightarrow\sin\varphi_{0}=\frac{\omega-\Omega}{\lambda|\vec{J}|},\,\,\cos\varphi_{0}>0.\tag{22}

小扰动近似下的稳定性验证

该解的稳定性可通过小扰动近似 \varphi=\varphi_{0}+\delta,\,|\delta|\ll 1 来验证：

\dot{\delta}=\omega-\Omega-\lambda|\vec{J}|\sin(\varphi_{0}+\delta)=(\omega-\Omega)(1-\cos\delta)-\lambda|\vec{J}|\cos(\varphi_{0})\,\sin\delta,

由于 \lambda|\vec{J}|\cos\varphi_{0}=\sqrt{(\lambda|\vec{J}|)^{2}-(\omega-\Omega)^{2}}>0，在极限 \delta\to 0 下简化为

\dot{\delta}\approx\sqrt{(\lambda|\vec{J}|)^{2}-(\omega-\Omega)^{2}}\,\sin\delta,

其解为

\delta(t)=2\arctan\left[\tan\left(\frac{\delta(0)}{2}\right)e^{-\Lambda_{\omega}t}\right],\quad\Lambda_{\omega}=\sqrt{(\lambda|\vec{J}|)^{2}-(\omega-\Omega)^{2}}\,\,,\tag{23}

这是一个零维 sine-Gordon 1-孤子解，描述了扭结自旋翻转（在 \omega=\Omega 情形下，相位变化恰好等于 \pi，拓扑荷改变一个单位，即 N_{+}\to N_{+}+1,\,N_{-}\to N_{-}-1）。

两个自旋的相位翻转动力学

对于两个经历相位翻转的自旋 \varphi_{1,2}，其集体动力学由方程组给出：

\left\{\begin{array}{lcl}\dot{\varphi}_{1}&=&\omega_{1}-\Omega-\lambda J\sin\varphi_{1}-\frac{\lambda}{N}\sin(\varphi_{1}-\varphi_{2})\\ &&\\ \dot{\varphi}_{2}&=&\omega_{2}-\Omega-\lambda J\sin\varphi_{2}-\frac{\lambda}{N}\sin(\varphi_{2}-\varphi_{1})\end{array}\right.\tag{24}

引入对称组合 \sigma=\frac{1}{2}(\varphi_{1}+\varphi_{2}) 和反对称组合 \delta=\frac{1}{2}(\varphi_{1}-\varphi_{2})，方程组 (24) 变为：

\left\{\begin{array}{lcl}\dot{\sigma}&=&\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}-\Omega\right)-\lambda J\cos(\delta)\sin(\sigma)\\ &&\\ \dot{\delta}&=&\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}-\lambda J\sin(\delta)\cos(\sigma)-\frac{\lambda}{N}\sin\delta,\end{array}\right.

其中 J 表示其余 N-2 个自旋的自旋平均值的恒定大小，并经过因子 \frac{N-2}{N} 重新缩放。在 N 很大的极限下，这些方程得以简化，其线性化后的渐近解为：

\sigma\approx\frac{\omega_{1}+\omega_{2}-2\Omega}{2\lambda J},\quad\delta\approx\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2\sqrt{(\lambda J)^{2}-\left[\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}-\Omega\right]^{2}}},

这与单自旋解 (22) 一致，仅相差 \frac{1}{(\lambda J)^{2}}\left[\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}-\Omega\right]^{2} 量级的修正项。

3.1.3 完全同步极限

在极限 \sqrt{{\rm{Var}}(\omega)}\ll\lambda\to\infty,\,|\vec{J}|\to 1 下，我们得到全局同步近似，对应于 \epsilon_{j}=1,\,\forall j\in\Sigma_{N}：

|\vec{J}|\approx 1-\frac{1}{2\lambda^{2}N|\vec{J}|^{2}}\sum_{j=1}^{N}(\omega_{j}-\Omega)^{2}\approx 1-\frac{{\rm{Var}}(\omega)}{2\lambda^{2}}\approx\sqrt{\frac{\lambda^{2}-{{\rm{Var}}(\omega)}}{\lambda^{2}}}

该解是全局稳定的，因为不再可能发生进一步的自旋翻转动力学。单个自旋以指数速度弛豫回其平衡相位，衰减率 \Lambda_{\omega} 由式（23）给出。渐近地 (\sqrt{{\rm{Var}}(\omega)}\ll\lambda\to\infty)，极限速率为 \Lambda_{\omega}\to\lambda。

3.2 广义Kuramoto模型的拉格朗日结构

迄今为止，Kuramoto系统的所有已知特征均已在此广义模型中得到确认。因此，现在有理由考虑与广义Kuramoto方程（式18）相容的拉格朗日与哈密顿结构。

定理6

定义配置空间为 \mathbb{R}^{3N} 的拉格朗日量

L(\{\vec{S}_{j}\},\{\dot{\vec{S}}_{j}\})=\sum_{j=1}^{N}\left\{\widehat{e}_{3}\cdot({\dot{\vec{S}}}_{j}\times\vec{S}_{j})-\omega_{j}|\vec{S}_{j}|^{2}+\lambda\left(\widehat{e}_{3}\times\left[(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\times\vec{S}_{j}\right]\right)\cdot\vec{S}_{j}\right\}

式18是作用量的欧拉-拉格朗日方程

W[\{\vec{S}_{j},\dot{\vec{S}}_{j}\}_{j\in\Sigma_{N}}]:=\int_{0}^{T}L(\{\vec{S}_{j}\},\{\dot{\vec{S}}_{j}\})dt

证明：记

\Lambda_{1}:=\widehat{e}_{3}\cdot({\dot{\vec{S}}}_{j}\times\vec{S}_{j}),\quad\Lambda_{2}:=-\omega_{j}|\vec{S}_{j}|^{2},\quad\Lambda_{3}:=\lambda\left[\widehat{e}_{3}\times\left((\vec{J}\times\vec{S}_{j})\times\vec{S}_{j}\right)\right]\cdot\vec{S}_{j},

使得 L 由所有自旋上各项 \Lambda_{1}+\Lambda_{2}+\Lambda_{3} 之和构成，并计算

\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial(\dot{\vec{S}}_{j})_{\alpha}}=\frac{\partial\,\,\,}{\partial(\dot{\vec{S}}_{j})_{\alpha}}\epsilon_{3\gamma\beta}(\vec{S_{j}})_{\beta}(\dot{\vec{S}}_{j})_{\gamma}=\epsilon_{3\alpha\beta}(\vec{S_{j}})_{\beta}=-(\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j})_{\alpha}\Rightarrow

\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial\dot{\vec{S}}_{j}}=-\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j},\quad\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial{\vec{S}}_{j}}=\widehat{e}_{3}\times\dot{\vec{S}}_{j},\quad\frac{d\,}{dt}\left(\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial\dot{\vec{S}}_{j}}\right)-\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial{\vec{S}}_{j}}=-2\,\widehat{e}_{3}\times\dot{\vec{S}}_{j},

\frac{\partial\Lambda_{2}}{\partial{\vec{S}}_{j}}=-2\,\omega_{j}\vec{S}_{j},

\Lambda_{3}=\lambda\left\{\widehat{e}_{3}\times\left[(\vec{J}\cdot\vec{S}_{j})\vec{S}_{j}-|\vec{S}_{j}|^{2}\vec{J}\right]\right\}\cdot\vec{S}_{j}=-\lambda|\vec{S}_{j}|^{2}\left[\widehat{e}_{3}\times\left(\vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j}\right)\right]\cdot\vec{S}_{j},

利用向量积的性质。由于 \vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j} 不依赖于 \vec{S}_{j}，我们可以计算

\frac{\partial\Lambda_{3}}{\partial{\vec{S}}_{j}}=-2\lambda\left(\left[\widehat{e}_{3}\times\left(\vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j}\right)\right]\cdot\vec{S}_{j}\right)\vec{S}_{j}-\lambda|\vec{S}_{j}|^{2}\widehat{e}_{3}\times\left(\vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j}\right)

\frac{\partial\Lambda_{3}}{\partial{\vec{S}}_{j}}=-2\lambda\left[\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)\cdot\widehat{e}_{3}\right]\vec{S}_{j}-\lambda|\vec{S}_{j}|^{2}\widehat{e}_{3}\times\left(\vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j}\right):=\Lambda_{3}^{(0)}+\Lambda_{3}^{(1)}.

单独考虑组合

\frac{d\,}{dt}\left(\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial\dot{\vec{S}}_{j}}\right)-\frac{\partial\Lambda_{1}}{\partial{\vec{S}}_{j}}-\frac{\partial\Lambda_{2}}{\partial{\vec{S}}_{j}}-\Lambda_{3}^{(0)}=-2\,\widehat{e}_{3}\times\dot{\vec{S}}_{j}+2\,\omega_{j}\vec{S}_{j}+2\lambda\left[\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)\cdot\widehat{e}_{3}\right]\vec{S}_{j},

并从左侧乘以 \widehat{e}_{3}\times 得到

2\left\{(\widehat{e}_{3}\cdot\dot{\vec{S}}_{j})\widehat{e}_{3}-\dot{\vec{S}}_{j}+\omega_{j}\,\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}+\lambda\left[\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)\cdot\widehat{e}_{3}\right]\,\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}\right\}

记

\widehat{P}_{3}(.):=(\widehat{e}_{3}\cdot\,\,.\,\,)\widehat{e}_{3}

为到 \widehat{e}_{3} 子空间上的投影算子，则表达式变为

2\left\{\widehat{P}_{3}\dot{\vec{S}}_{j}-\dot{\vec{S}}_{j}+\omega_{j}\,\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}+\lambda\vec{S}_{j}\times\left[\widehat{P}_{3}\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)\right]\,\right\}

令该表达式为零，得到方程

\dot{\vec{S}}_{j}-\widehat{P}_{3}\dot{\vec{S}}_{j}=\omega_{j}\,\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}+\lambda\vec{S}_{j}\times\left[\widehat{P}_{3}\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)\right]\,

显然，对于平面自旋情形，有 \widehat{P}_{3}\dot{\vec{S}}_{j}=\vec{0} 和 \widehat{P}_{3}\left(\vec{J}\times\vec{S}_{j}\right)=\vec{J}\times\vec{S}_{j}，由此得到方程（式 18），进而导出平面自旋情形的 Kuramoto 方程。

最后，为了补偿项 \Lambda_{3}^{(1)} 之和，该和等于

-\lambda\sum_{j=1}^{N}\widehat{e}_{3}\times\left(\vec{J}-\frac{1}{N}\vec{S}_{j}\right)=-\lambda\frac{N-1}{N}\,\widehat{e}_{3}\times\vec{J}=-\lambda\frac{N-1}{N^{2}}\sum_{j=1}^{N}\,\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}

我们注意到

\frac{\partial\vec{S}_{j}\cdot(\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j})}{\partial\vec{S}_{j}}=2\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j},

因此，在拉格朗日量中添加项

\lambda\frac{N-1}{2N^{2}}\sum_{j=1}^{N}\vec{S}_{j}\cdot(\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j})

确实可以抵消项 \Lambda_{3}^{(1)} 之和。然而，由于

\vec{S}_{j}\cdot(\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j})=\widehat{e}_{3}\cdot(\vec{S}_{j}\times\vec{S}_{j})\equiv 0,

这意味着作用量 W 本身足以生成方程（式 18）。\square

3.2.1 广义Kuramoto模型的哈密顿结构

由于

\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{S}}_{j}}=-\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}=\vec{S}_{j}\times\widehat{e}_{3}:=\vec{P}_{j}

定义了相应的动量变量 \vec{P}_{j}，且系统的哈密顿函数为勒让德变换 H=\sum_{j=1}^{N}\vec{P}_{j}\cdot\dot{\vec{S}}_{j}-L，我们寻求在相空间上定义一个函数，该函数关于变量对 \{\vec{S}_{j},\vec{P}_{j}\},\,j\in\Sigma_{N} 对称。以下选择可视为一个自然候选：

定理 7

广义Kuramoto模型在平面Kuramoto初始条件下，具有如下哈密顿量：

H(\{\vec{S}_{j},\vec{P}_{j}\})=\sum_{j=1}^{N}\left\{-\frac{\omega_{j}}{2}\left[|\vec{S}_{j}|^{2}+|\vec{P}_{j}|^{2}\right]+\lambda(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\cdot(\vec{P}_{j}\times\vec{S}_{j})\right\},

证明。 关于其独立变量，哈密顿量的导数为：

\frac{\partial H}{\partial\vec{P}_{j}}=-\omega_{j}\vec{P}_{j}+\lambda\vec{S}_{j}\times(\vec{J}\times\vec{S}_{j})=\omega_{j}\widehat{e}_{3}\times\vec{S}_{j}+\lambda\vec{S}_{j}\times(\vec{J}\times\vec{S}_{j}),

这确实等于方程（18）中的 \dot{\vec{S}_{j}}。对于第二组方程，我们有：

\frac{\partial H}{\partial\vec{S}_{j}}=-\omega_{j}\vec{S}_{j}+\lambda(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\times\vec{P}_{j}+\lambda(\vec{P}_{j}\times\vec{S}_{j})\times\vec{J}-\frac{\lambda}{N}\sum_{k\neq j}\vec{S}_{k}\times(\vec{P}_{k}\times\vec{S}_{k})

在平面自旋构型中，最后一项等于 \lambda\widehat{e}_{3}\times\vec{J}，因此我们需要比较：

-\dot{\vec{P}}_{j}+\omega_{j}\vec{S}_{j}=\widehat{e}_{3}\times\dot{\vec{S}}_{j}+\omega_{j}\vec{S}_{j}=\lambda\widehat{e}_{3}\times[\vec{S}_{j}\times(\vec{J}\times\vec{S}_{j})]=\lambda\widehat{e}_{3}\times\vec{J}+\lambda(\vec{J}\cdot\vec{S}_{j})\vec{P}_{j}

3.2.1 平面约化与恒等式

\lambda(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\times\vec{P}_{j}+\lambda(\vec{P}_{j}\times\vec{S}_{j})\times\vec{J}+\lambda\widehat{e}_{3}\times\vec{J},

或

(\vec{P}_{j}\times\vec{S}_{j})\times\vec{J}=\widehat{e}_{3}\times\vec{J}

以及

-(\vec{J}\cdot\vec{S}_{j})\vec{P}_{j}+(\vec{J}\times\vec{S}_{j})\times\vec{P}_{j}=-(\vec{J}\cdot\vec{S}_{j})\vec{P}_{j}+(\vec{J}\cdot\vec{P}_{j})\vec{S}_{j}

对于任意一对按标准取向、相互正交的平面单位向量 \vec{P}_{j},\vec{S}_{j}，该恒等式成立。因此，在平面初始条件下，定理 7 中哈密顿量的哈密顿方程变为自旋变量 \{\vec{S}_{j}\},\,j\in\Sigma_{N} 的（自对偶）Kuramoto 方程。\square

注意，正如预期，哈密顿量的平面约化给出了常数值（总能量）

E=-\sum_{j=1}^{N}\omega_{j}.

3.2.2 围绕一般同步解的平面微扰哈密顿量

如 §3.1 所述，当耦合常数足够大时，系统可能达到同步构型 \{\vec{S}_{j}^{(0)}\}_{j\in\Sigma_{N}}（式 20），这些构型已可按每个扇区 (N_{+},N_{-}) 中的自旋数量进行分类。考虑定理 7 中哈密顿量在该解附近的一个小平面微扰，我们引入记号

\vec{S}_{j}\approx\vec{S}_{j}^{(0)}+\vec{\sigma}_{j},\,\,\vec{\sigma}_{j}\cdot\vec{S}_{j}^{(0)}=0,\quad\vec{\sigma}_{j}=|\vec{\sigma}_{j}|\vec{S}_{j}^{(0)}\times\widehat{e}_{3},

使得

H\approx H_{0}(\{\vec{S}_{j}^{(0)}\}_{j\in\Sigma_{N}})+h(\{\vec{\sigma}_{j}\}_{j\in\Sigma_{N}}),\quad h=-\lambda\sum_{j=1}^{N}\vec{J}\cdot\vec{\sigma}_{j}^{*},

伪自旋与一阶平面扰动哈密顿量

其中伪自旋 \vec{\sigma}_{j}^{*} 由与 \vec{\sigma}_{j} 对偶的向量给出。因此，一阶平面扰动哈密顿量典型地符合海森堡自旋模型，在固定 |\vec{J}| 下其最小值由完全同步解给出，对应于哈密顿量 h 的自旋模型中的铁磁基态：

\vec{J}\cdot\vec{\sigma}_{j}^{*}>0,\,\,\forall j\in\Sigma_{N}.

4 广义仓本系统在同步平衡态附近的几何量子化

4.1 经典泊松括号的一致性及其形变量子化

注意，在定理 7 中，针对广义仓本模型，上一节发现的形式泊松括号结构为：

\frac{df}{dt}=\{H,f\}:=\sum_{j=1}^{N}\frac{\partial H}{\partial\vec{P}_{j}}\cdot\frac{\partial f}{\partial\vec{S}_{j}}-\frac{\partial f}{\partial\vec{P}_{j}}\cdot\frac{\partial H}{\partial\vec{S}_{j}},

该式适用于任何仅通过变量 \{\vec{S}_{j},\,\vec{P}_{j}\}_{j\in\Sigma_{N}} 依赖于时间的函数 f。这形式上可扩展到看似向量变量的量，如 \vec{P}_{k},\,\vec{S}_{\ell}，而

\{\vec{P}_{j},\vec{S}_{k}\}=\delta_{jk},\,\,j,k\in\Sigma_{N}.

这一结构确实是广义仓本模型平面极限下函数的恰当泊松括号结构，原因在于：尽管受限于单位圆，变量 \vec{P}_{k},\,\vec{S}_{\ell} 实际上是标量（更精确地说，等价于其角度变量）。事实上，可以将此泊松括号选择与式 10 中定义的反对称双线性形式等同起来，因为对于单模复变量 u=e^{i\alpha},\,v=e^{i\beta},\,\alpha,\beta\in\mathbb{R}，我们有

[u,v]=\sin(\alpha-\beta)=\widehat{e}_{3}\cdot(\vec{v}\times\vec{u}).

其中 \vec{u},\vec{v} 是平面向量表示 \vec{u}=\langle\cos\alpha,\sin\alpha,0\rangle,\,\vec{v}=\langle\cos\beta,\sin\beta,0\rangle。因此，由于 \vec{S}_{j}=\langle\cos\theta_{j},\sin\theta_{j},0\rangle,\,\vec{P}_{j}=\langle\cos(\theta_{j}-\frac{\pi}{2}),\sin(\theta_{j}-\frac{\pi}{2}),0\rangle，我们可以验证恒等式

\{\vec{P}_{j},\vec{S}_{j}\}=1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\widehat{e}_{3}\cdot(\vec{P}_{j}\times\vec{S}_{j}).

4.2 库拉莫托同步态周围离面涨落的量子化

现在考虑李群 SU(1)\simeq S^{1} 的一个嵌入，经典变量 \{\vec{S}_{j},\,\vec{P}_{j}\}_{j\in\Sigma_{N}} 定义于其上，并将其最小形变为 SU(2)\simeq S^{3}，作为 \mathbb{R}^{3} 中闭单位球 \overline{\mathbb{B}}_{3} 上的双重覆盖。注意，这也会一致地包含所有经典自旋的凸组合，例如平均场 \vec{J}。

使用 SU(2) 及其代数 \textswab{s:u}(2) 的标准表示，通过泡利矩阵 \{\sigma_{\alpha}\}_{\alpha=1,2,3}（归一化使得

\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}=\frac{1}{4}\delta_{\alpha\beta}\mathbb{I}+\frac{i}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\sigma_{\gamma},\quad[\sigma_{\alpha},\sigma_{\beta}]=i\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\sigma_{\gamma},

其中使用了 \textswab{s:u}(2) 的典型李括号），我们通过将仅通过正则变量 \vec{P}_{k},\,\vec{S}_{k} 依赖于时间的变量的经典泊松括号形变为

\widehat{e}_{3}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})\to\{\vec{a},\,\vec{b}\}+\hbar[\vec{a}\cdot\vec{\sigma},\vec{b}\cdot\vec{\sigma}],

其中 \vec{\sigma}:=\langle\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}\rangle，从而对库拉莫托哈密顿系统进行量子化。将变形参数 \hbar 展开至一阶，并利用恒等式

[\vec{a}\cdot\vec{\sigma},\vec{b}\cdot\vec{\sigma}]=2(\vec{a}\cdot\vec{\sigma})\cdot(\vec{b}\cdot\vec{\sigma})-\frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{b})\,\mathbb{I},

该量子化的半经典极限可通过将算符替换为其基态平均值得到：

\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\to\vec{a}\cdot\langle\!\langle\vec{\sigma}\rangle\!\rangle:=\vec{a}\cdot\vec{\tau}.

对于离面扰动，基态是 \sigma_{3} 的本征向量，因此有 \langle\!\langle\sigma_{\alpha}\rangle\!\rangle=2t_{3}\delta_{\alpha 3},\,\alpha=1,2,3，于是半经典极限为：

\vec{a}\cdot\vec{\sigma}\to 2a_{3}t_{3}

综合这些结果，Kuramoto 哈密顿量 H\to H_{0}+\hbar\widehat{H}_{1} 在同步态（式 20）附近的一阶扰动（\hbar 量级）变为：

\widehat{H}_{1}=\sum_{j=1}^{N}2(\omega_{j}-\Omega)t_{j}^{(3)}-\frac{\lambda}{N}|\vec{J}^{-}|^{2},

其中 \vec{J}^{-}:=\sum_{j=1}^{N}\langle t_{j}^{(1)},t_{j}^{(2)},0\rangle 是平面总自旋扰动的半经典极限。我们注意到，这与描述 Anderson 模型中自旋配对机制的 Richardson-Gaudin 哈密顿量 [20, 21] 的半经典极限一致，其中谱为 \epsilon_{j}=\omega_{j}-\Omega,\,j\in\Sigma_{N}，耦合常数为 g=\frac{\lambda}{N}。

4.3 平均场自旋在 Kuramoto 同步态附近的动力学

上一节分析得出的主要结论之一是：当耦合常数增大且总经典自旋较小时（\frac{N_{+}-N_{-}}{N}=O\left(\frac{1}{N}\right)），§3.1.2 中微扰描述的自旋翻转机制由调制椭圆函数[20] 描述，并伴随大致对应 \frac{\lambda_{c}}{\lambda_{s}}\ll 1 的时间尺度分离。这一结果意义重大，因为它为 Kuramoto 系统在同步态中的强相互作用集体动力学，提供了超越渐近（及热力学）极限 \lambda\to\infty 的显式微扰解。

5 结语

在未来的工作中，我们将探索该模型在平面解（平衡态及其他情况）附近以及特殊解 \vec{S}_{j}=\widehat{e}_{3} 附近的普适类极限。将原始模型嵌入到哈密顿动力系统族中，使我们能够在可积性形式下探索这一动力学相变的非平衡特征——这本身就在通常被认为不自然兼容的理论之间建立了非平凡的联系。

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